三阶魔方状态的对称性分类计数(附录):关于状态对称性的其他话题

这一篇用于收集一些其他与魔方状态对称性有关的话题。慢慢更新,想到一个写一个。

1. 为恰好获得某种对称性需要改变状态的最少组块数

有个与此相关的问题是为了恰好获得某种对称性所需的最少操作步数。个人感觉除了个别对称性之外应该只能靠暴力搜索,没什么意思。答案在魔方数学专家 Herbert Kociemba 的网页上给出了,应该是解决三阶魔方任何状态所需所需步数上限为 20 的证明的副产品。

在此我们考虑一个不同的问题:为恰好获得某种对称性需要改变状态的最少组块数。两个最明显的结论:除了 Oh 之外,需要改变状态的最少组块数不少于最小轨道包含的组块数,且至少 2 个。

Oh:显然不需要任何操作。

OTd:没有恰具有这两种对称的状态。

Th:最小的轨道有 8 个组块,因此至少需要改变 8 个组块的状态。


T:最小的轨道为 8 个角块,但其所有状态都具有 Th 对称,因此只改变角块不能恰好获得 T 对称。12 个棱块全部属于同一轨道,因此至少需要改变 12 个组块的状态。


D4h:最小的轨道有 4 个组块,因此至少需要改变 4 个组块的状态。


D4:最小的轨道为 4 个棱块,但其所有状态都具有 D4h 对称。其次最小的轨道有 8 个组块,因此至少需要改变 8 个组块的状态。


C4h:最小的轨道为 4 个棱块,但其不具有更高对称性的状态有组块的奇置换,为非法状态。其次最小的轨道有 8 个组块,因此至少需要改变 8 个组块的状态。


C4v:最小的轨道有 4 个组块,因此至少需要改变 4 个组块的状态。


C4:所有轨道均有 4 个组块,但棱块轨道的不具有更高对称性的状态有组块的奇置换,角块轨道的不具有更高对称性的状态有角块旋转,为非法状态,因此至少需要同时改变两个轨道,即 8 个组块。


D3d:最小的轨道为 2 个角块,但其状态唯一确定。其次最小的轨道有 6 个组块,因此至少需要改变 6 个组块的状态。


D3:最小的轨道为 2 个角块,但其不具有更高对称性的状态有角块旋转,为非法状态。其次最小的轨道为 3 个棱块,但其不具有更高对称性的状态有棱块翻转,为非法状态。其次最小的轨道有 6 个组块,因此至少需要改变 6 个组块的状态。


C3v:最小的轨道为 1 个角块,但其状态唯一确定。其次最小的轨道有 3 个组块,但棱块轨道的不具有更高对称性的状态有棱块翻转,角块轨道的不具有更高对称性的状态有角块旋转,为非法状态。其次最小的轨道有 6 个组块,因此至少需要改变 6 个组块的状态。


S6:最小的轨道为 2 个角块,因此至少需要改变 2 个组块的状态。


C3:最小的轨道为 1 个角块,但其不具有更高对称性的状态有角块旋转,为非法状态。同时改变两个轨道获得的合法状态均具有 S6 对称性。其次最小的轨道有 3 个组块,因此至少需要改变 3 个组块的状态。


D2h[ff]:最小的轨道有 4 个组块,因此至少需要改变 4 个组块的状态。


D2h[e]:最小的轨道有 2 个组块,因此至少需要改变 2 个组块的状态。


D2d{ff}:最小的轨道有 4 个组块,因此至少需要改变 4 个组块的状态。


D2d{e}:最小的轨道有 4 个组块,因此至少需要改变 4 个组块的状态。


对于总阶数为 1,2 和 4 的对称性,为减少重复分析最小轨道组块数为 1 或 2 的情况,先讨论所有恰改变 2 个组块可以获得的对称。由于交换两块会导致奇置换,只能同时翻转两个棱块或同时向相反方向旋转两个角块。

翻转相邻棱块:Cs{e}

翻转翻转同面不相邻棱块:C2v{ff}

翻转在相邻面上而不在同一面上的两个棱块:C2[e]

翻转相对棱块:D2h[e]

旋转相邻角块:Cs{f}

旋转同面不相邻角块:Cs{e}

旋转相对角块:S6

对于改变两个组块不能获得的对称性,由于不同大小的轨道不能互换,且不存在恰包含 3 个组块的轨道,除 C1 包含至少 3 个单个组块的轨道可以轨道间互换之外,其他对称性至少需要改变 4 个组块的状态。

D2[ff]:所有轨道均有 4 个组块,但棱块轨道的所有状态均具有 D2h[ff] 对称,角块轨道的不具有更高对称性的状态有角块旋转,为非法状态,因此至少需要同时改变两个轨道,即 8 个组块。


D2[e]:至少需要改变 4 个组块的状态。


C2h[f]:至少需要改变 4 个组块的状态。


C2h[e]:至少需要改变 4 个组块的状态。


C2v{ff}:至少需要改变 2 个组块的状态。


C2v{fe}:至少需要改变 4 个组块的状态。


C2v{ee}:至少需要改变 4 个组块的状态。


S4:所有轨道均有 4 个组块,但其不具有更高对称性的状态皆有组块的奇置换,为非法状态,因此至少需要同时改变两个轨道,即 8 个组块。


C2[f]:至少需要改变 4 个组块的状态。


C2[e]:至少需要改变 2 个组块的状态。


Cs{f}:至少需要改变 2 个组块的状态。


Cs{e}:至少需要改变 2 个组块的状态。


Ci:至少需要改变 4 个组块的状态。


C1:至少需要改变 3 个组块的状态。


2. 六面六色状态的最大对称性

每个面都有六种颜色的状态,最多可以具有怎样的对称性?

OhOTdTh 对称的状态数很少,可以验证没有六面六色的状态。而除此之外的三种极大对称性 D4hTD3d 都有六面六色的状态。

D4h


T


D3d


3. 最“对称”的非对称状态

整体状态具有某个对称群的状态,在换色等价意义下其每个面上的图案的对称性不小于此面的稳定化子,且属于同一个轨道的面上的图案相同。

反之,面上图案具有对称性且/或不同面上的图案相同的状态未必具有整体的对称性。

图示的状态中,每个面的图案均具有 C2v 对称性(若考虑换色等价则为 C4v),且六个面上的图案在换色意义下等价,但整体不具有任何对称性。


每个面上不允许换色仍具有 C4v 对称的状态,整体至少有 Ci 对称。因此,此状态可以称为最“对称”的非对称状态。