三阶魔方状态的对称性分类计数（二）：三维有限点群，魔方状态对称性的定义，全八面体对称群

既然此系列的主题是魔方状态的空间对称性分类，那么当然首先要明确可能的空间对称性都有哪些。

一般来说，考虑某一类对象和某一类变换。某个对象的对称性可以用使此对象保持不变的变换的集合来描述。用于描述空间对称性的变换是等距同构，在欧氏空间中即为全等变换。

由 n 维空间中的全等变换构成的、保持原点不动的群称为点群。亦即，n 维正交群 O(n) 的子群称为 n 维点群。对于一个几何体，保持它不变的所有全等变换构成的群称为其空间对称群。有限几何体的空间对称群是点群。多胞体的空间对称群是有限点群。在此我们简要介绍所有的三维有限点群，然后重点讨论魔方的空间对称群。

三维点群可以包含以下类型的变换：

• 恒等变换
• 以过原点的直线为旋转轴的旋转
• 以过原点的平面为反射平面的镜面反射
• 旋转反射：以过原点的直线为轴旋转后再沿过原点并垂直于旋转轴的平面反射
  • 特别地，绕任意旋转轴的 180° 旋转反射皆为同一变换，即点反演

角度为无理数的旋转和旋转反射生成的群为无限循环群，因此有限点群中只能包含角度为有理数的旋转和旋转反射。

角度为 360°×k/n （k/n 为最简分数）的旋转生成的群为 n 阶循环群。生成 n 阶循环群的旋转轴称为 n 重旋转轴。n>2 时称为多重旋转轴。按多重旋转轴的数量，三维点群可以分成两大类：

• 棱柱点群：包含至多一个多重旋转轴的点群，有 7 个无穷系列。
• 包含至少两个多重旋转轴的点群，有 7 个。

以下每个群的记号使用 Schoenflies 记号。棱柱点群有以下 7 个系列（末尾括号中为其阶）：

• C_n （循环群）：正 n 棱锥的旋转对称群。只包含绕一个 n 重旋转轴的旋转。（n）
• C_nh：包含 C_n 以及沿与旋转轴垂直的平面的反射。（2n）
• C_nv：正 n 棱锥的对称群。包含 C_n 以及沿过旋转轴的平面的反射。（2n）
• D_n （二面体群）：正 n 棱柱的旋转对称群。包含 C_n 以及 n 个与 n 重旋转轴垂直的二重旋转轴。（2n）
• D_nh：正 n 棱柱的对称群。包含 D_n 以及沿过二重旋转轴的平面的反射。（4n）
• D_nd：正反 n 棱柱的对称群。包含 D_n 以及沿过两个相邻的二重旋转轴的角平分线的平面的反射。（4n）
• S_2n：包含 C_n 以及绕同一旋转轴，角度为 180°×(2k+1)/n 的旋转反射。（2n）

以上 7 个系列中有四对相同的群：

• C_1v = C_1h，仅包含一个镜面反射，一般记为 C_s
• D₁ = C₂，仅包含一个 180° 旋转，一般记为 C₂
• D_1h = C_2v，一般记为 C_2v
• D_1d = C_2h，一般记为 C_2h

又，S₂ 仅包含点反演，一般记为 C_i。其余各个群互不相同。图 1 所示的空间几何图形，其空间对称群为左侧对应的群。

包含至少两个多重旋转轴的点群有以下 7 个：

• T （手性四面体对称群）：正四面体的旋转对称群。有 4 个 3 重旋转轴，为正四面体的四个顶点到其对面的中心的连线。（12）
• T_d （全四面体对称群）：正四面体的对称群。包含 T 及沿过正四面体的边和其对边的中点的平面的反射。（24）
• T_h：十二面体黄铁矿晶体的对称群。包含 T 及点反演。（24）
• O （手性八面体对称群）：正八面体的旋转对称群。有 4 个 3 重旋转轴，为正八面体 4 组对面中心的连线；3 个 4 重旋转轴，为 3 组相对顶点的连线。（24）
• O_h （全八面体对称群）：正八面体的对称群。包含 O 及点反演。（48）
• I （手性二十面体对称群）：正二十面体的旋转对称群。有 10 个 3 重旋转轴，为正二十面体 10 组对面中心的连线；6 个 5 重旋转轴，为 6 组相对顶点的连线。（60）
• I_h （二十面体对称群）：正二十面体的对称群。包含 I 及点反演。（120）

立方体与正八面体对偶，对称性相同，为 O_h。

讨论魔方状态的空间对称性分类之前，要先明确什么是魔方状态的空间对称性。如前所述，某类变换中保持某个对象不变者构成的集合即为此对象的对称。若仅考虑全等变换，则魔方没有任何空间对称性，因为它的每个面颜色不同、不可能在非恒等的全等变换下保持不变。因此，我们考虑全等变换+换色：对任意两个魔方状态 A 和 B，如果 A 状态下任意两个面片同色当且仅当 B 状态下位于同一位置的两个面片同色，则称 A 和 B 在换色意义下等价。换言之，存在面片颜色集合的一个置换 π 使得将状态 A 中所有颜色为 c 的面片替换为颜色 π(c) 之后可得状态 B。对于状态 A，使得 f(A) 与 A 在换色意义下等价的所有全等变换 f 构成一个群，称为状态 A 的空间对称群。如图 2 所示的状态（“C_2h 双环”）经一个以对边中点连线为轴的 180° 旋转和三对颜色对换之后回到原状态，因此其空间对称群包含此全等变换。

复原状态的空间对称群为 O_h，任何状态的空间对称群均为 O_h 的子群。我们特别提到空间对称，因为魔方状态还有其它形式的对称，比如时间反演对称：魔方的每一个状态可以视为组块状态集上的一个置换。如图 3 右上角所示的状态 A，标准状态下有 WB @ UR，而状态 A 下有 WB @ RF，即为从标准状态变换到状态 A，需将原来位于 UR 状态的组块置于状态 RF，即状态 A 对应的置换中应有 UR → RF。类似地，可以得到状态 A 的置换表示为 (UR RF UF)(RU FR FU)。而此置换的逆置换为 A^-1 = (UR UF RF)(RU FU FR)，状态如图 3 左下角。此状态经一个反射和一个颜色对换之后即为 A。类比于空间对称性，将一个状态变为其逆置换的变换可称为时间反演。状态 A 在时间反演和某个全等变换的复合变换的作用下与 A 在换色意义下等价，也是一种对称。但从图 3 中可以看出此类对称仅从外观难以分辨，而我们关心的是视觉效果上的对称性，因此我们只考虑空间对称而不考虑时间反演对称。

以下具体分析一下 O_h。O_h 的旋转子群为 O。取一个立方体。可以验证，立方体的 4 条体对角线的任意置换唯一确定一个旋转，因此，O 的抽象群为 4 个元素上的对称群 Sym(4) （为避免与旋转反射生成的点群 S_2n 混淆，此处将 n 个元素上的对称群记为 Sym(n)。）又，若允许镜像，则每一种对角线的置换对应两个全等变换，互为点反演。|O_h:O|=2，故 O 是 O_h 的正规子群。点反演与 O_h 的所有元素交换，故 C_i 也是 O_h 的正规子群。因此 O_h = O×C_i ≅ Sym(4)×Z₂。|O_h|=48。

O_h 中包含的旋转轴和镜像平面包括：

• 面心旋转轴：对面的中心的连线，4 重，3 个
• 边心旋转轴：对边的中点的连线，2 重，6 个
• 对角旋转轴：相对的顶点的连线，3 重，4 个
• 面反射平面：与面平行的反射平面，3 个
• 边反射平面：过对边的反射平面，6 个

枚举 O_h 的元素如下。图 4 中，每个面被两个对角线和两个对边中点连线划分为 8 个三角形。以位于上面、与前面有公共边、与右面有公共顶点的三角形为基准，按以下列表中的分类，每一类变换下基准三角形的像以相应的底色标记。

• 恒等变换
• 旋转
  • 180° 旋转
    • 3 个面心 180° 旋转
    • 6 个边心 180° 旋转
  • 8 个对角 120° 旋转
  • 6 个面心 90° 旋转
• 反射
  • 3 个面反射
  • 6 个边反射
• 旋转反射
  • 180° 旋转反射（点反演）
  • 6 个面心 90° 旋转反射
  • 8 个对角 60° 旋转反射

任何状态的空间对称群均为 O_h 的子群。在下一篇中我们将枚举 O_h 的所有子群并分析具有某种对称性的状态的计数方法。