三阶魔方状态的对称性分类计数（五）：全等变换下非等价的状态数

至此，对 O_h 的每个子群 G 我们已经算出至少具有 G 对称性的合法状态数，亦即在 G 中任一变换下皆与原状态在换色意义下等价的状态数。此篇中我们考虑在全等变换下非等价的状态数的计算。

如果不按对称性分类，只计算全等变换下非等价的状态总数，则最简便的方法是使用 Burnside 引理：一个集合 S 在一个群 G 的作用下的轨道数等于在 G 的每一个元素的作用下保持不变的元素的平均值。对于我们的问题而言，即在全等变换+换色下非等价的状态数，等于在 O_h 中的每一个变换下与原状态在换色意义下等价的状态数的平均值。对于每一个全等变换 f，在 f 的作用下与原状态在换色意义下等价的状态数也就是空间对称群包含由 f 生成的子群 <f> 的状态数。考虑 O_h 中的每个元素生成的子群：

元素共轭类	数量	<f>	不变状态数
恒等变换	1	C1	43,252,003,274,489,856,000
对角 120° 旋转	8	C3	3,779,136
面心 90° 旋转	6	C4	147,456
面心 180° 旋转	3	C2[f]	15,288,238,080
边心 180° 旋转	6	C2[e]	2,548,039,680
点反演	1	Ci	45,864,714,240
对角 60° 旋转反射	8	S6	7,776
面心 90° 旋转反射	6	S4	442,368
面反射	3	Cs{f}	18,345,885,696
边反射	6	Cs{e}	424,673,280

可得全等变换下非等价的状态总数为 (43,252,003,274,489,856,000 + 3,779,136*8 + 147,456*6 + 15,288,238,080*3 + 2,548,039,680*6 + 4,586,4714,240 + 7,776*8 + 442,368*6 + 18,345,885,696*3 + 424,673,280*6) / 48 = 901,083,404,981,813,616。

如果考虑对称性，则 Burnside 引理的应用要更复杂一些：首先，若 G 为 O_h 的非平凡的真子群，则具有 G 对称性的状态集合在 O_h\G 中的变换的作用下不封闭，为了定义群作用需要考虑所有具有 G 的共轭类中任一个子群的对称性的状态。其次，此时需要对每一个变换 f 计算由 G 和 f 生成的子群 <G,f>，过于繁琐。此时不使用 Burnside 引理而使用“笨方法”反而更简单。

先来看看计算全等变换下非等价状态数的难点在哪里。由于 |O_h|=48，每一个无对称性的状态在 O_h 的作用+换色下可以获得 48 个（包括其本身）与其等价的状态。但如果某状态具有对称性，则在 O_h 的作用+换色下某些状态与原状态相同，可获得的状态少于 48 个，因此不能简单地将总状态数除以 48。而计算不等价的总状态数的“笨方法”，就是枚举所有的对称性，对于 O_h 的子群 G，每个对称群恰与 G 共轭的状态在 O_h 的作用下一共可以获得 |O_h|/|G| 个状态，因此先计算空间对称群恰与 G 共轭的状态数，再除以 |O_h|/|G|，即得空间对称群恰与 G 共轭且在全等变化下不等价的状态数。再对所有的共轭类求和，即得全等变化下不等价的状态总数。

对称群恰与 G 共轭的状态数等于对称群恰为 G 的状态数乘以与 G 共轭的子群的个数。而为了计算对称性恰为 G 的状态数，就需要从对称性至少为 G 的状态数中减去具有更高对称性的状态。为此，可按阶从高到低枚举 G，然后对每一个 G，枚举 H 使得 G < H < O_h，从对称性至少为 G 的状态数中减去对称性恰为 H 的状态数。为简化计算可以按（Oh 中的）共轭类枚举，若 G 的共轭类有 n 个子群，H 的共轭类有 m 个子群，每个与 H 共轭的子群包含 k 个与 G 共轭的群为其子群，则 G 被 m×k/n 个与 H 共轭的子群包含。

计算结果如下表。每一列分别为：(1) 对于共轭类中一个固定的群 G，对称性至少为 G 的状态数；(2) 对于共轭类中一个固定的群 G，对称性恰为 G 的状态数；(3) 恰具有此共轭类的对称性且在全等变换下不等价的状态数。

Oh	4	4	4
O	4	0	0
Td	4	0	0
Th	24	20	10
T	72	48	12
D4h	128	124	124
D4	512	384	192
C4h	1,536	1,408	704
C4v	1,024	896	448
C4	147,456	144,640	36,160
D3d	16	12	12
D3	432	416	208
C3v	48	32	16
S6	7,776	7,740	3,870
C3	3,779,136	3,770,864	942,716
D2h[ff]	12,288	11,892	1,982
D2h[e]	2,048	1,920	960
D2d{ff}	3,072	2,944	1,472
D2d{e}	512	384	192
D2[ff]	294,912	280,272	23,356
D2[e]	98,304	92,928	23,232
C2h[f]	589,824	574,208	143,552
C2h[e]	98,304	96,232	48,116
C2v{ff}	1,179,648	1,163,520	290,880
C2v{fe}	98,304	96,256	48,128
C2v{ee}	65,536	62,208	15,552
S4	442,368	437,504	109,376
C2[f]	15,288,238,080	15,285,460,992	1,910,682,624
C2[e]	2,548,039,680	2,547,748,032	636,937,008
Cs{f}	18,345,885,696	18,342,768,640	2,292,846,080
Cs{e}	424,673,280	424,415,168	106,103,792
Ci	45,864,714,240	45,862,360,944	1,910,931,706
C1	43,252,003,274,489,856,000	43,252,003,109,885,814,336	901,083,398,122,621,132